web address of the page http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0000947557
Cybernetics and Systems Analysis   А - 2019 /  Issue (2019, Т. 55, № 1)
Макаров В. Л., Майко Н. В.
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв'язування диференціального рівняння з дробовою похідною Побудовано і досліджено сіткові методи розв'язування першої крайової задачі для диференціального рівняння з похідною Рімана - Ліувілля дробового порядку. За допомогою функції Гріна крайову задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма, для дискретизації якого застосовано інтерполяційні поліноми Лагранжа. Доведено вагові оцінки точності сіткових задач, які враховують вплив крайової умови Діріхле. Отримані результати свідчать про те, що точність наближеного розв'язку є вищою у примежових вузлах сітки, ніж в її внутрішніх вузлах. Теоретичні результати проілюстровано числовим прикладом.
 https://doi.org/10.1007/s10559-019-00113-y
 Scopus
Бібліографічний опис:
Макаров В. Л., Майко Н. В. Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв'язування диференціального рівняння з дробовою похідною. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55, № 1. С. 80-95. doi: https://doi.org/10.1007/s10559-019-00113-y URL: http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0000947557 |
 Cybernetics and Systems Analysis / Issue (2019, 55 (1))
Makarov V.L.,
Mayko N.V.
Boundary effect in error estimate of the grid method for solving a fractional differential equation We construct and analyze grid methods for solving the first boundary-value problem for an ordinary differential equation with the Riemann–Liouville fractional derivative. Using Green’s function, we reduce the boundary-value problem to the Fredholm integral equation, which is then discretized by means of the Lagrange interpolation polynomials. We prove the weighted error estimates of grid problems, which take into account the impact of the Dirichlet boundary condition. All the results give us clear evidence that the accuracy order of the grid scheme is higher near the endpoints of the line segment than at the inner points of the mesh set. We provide a numerical example to support the theory. © 2019, Springer Science+Business Media, LLC, part of Springer Nature. Keywords: boundary effect, differential equation, Dirichlet boundary condition, error estimate, fractional derivative, grid solution, Boundary value problems, Differential equations, Integral equations, Ordinary differential equations, Boundary effects, Dirichlet boundary condition, Error estimates, Fractional derivatives, Fractional differential equations, Fredholm integral equations, Grid problems, Lagrange interpolations, Boundary conditions
Cite:
Makarov V.L.,
Mayko N.V.
(2019). Boundary effect in error estimate of the grid method for solving a fractional differential equation. Cybernetics and Systems Analysis, 55 (1), 80-95. doi: https://doi.org/10.1007/s10559-019-00113-y http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0000947557 [In Ukrainian]. |
PDF