web address of the page http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0001348612
Cybernetics and Systems Analysis   А - 2019 /  Issue (2022, Т. 58, № 5)
Семенов В. В., Денисов С. В., Сандраков Г. В., Харьков О. С.
Збіжність методу операторної екстраполяції для варіаційних нерівностей в Банахових просторах Досліджено нові ітераційні алгоритми для розв'язання варіаційних нерівностей в рівномірно опуклих Банахових просторах. Перший алгоритм - модифікація методу "forward-reflected-backward algorithm", що використовує узагальнену проекцію Альбера замість метричної. Другий алгоритм є адаптивним варіантом першого, де використовується монотонне правило поновлення величини кроку, що не вимагає знання Ліпшицевих констант і лінійного пошуку. Для варіаційних нерівностей із монотонними, Ліпшицевими операторами, що діють у 2-рівномірно опуклому та рівномірно гладкому Банаховому просторі, доведено теореми про слабку збіжність методів. Також для першого алгоритму доведено оцінку ефективності в термінах функції зазору. Одним із популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження варіаційних нерівностей і розробка методів апроксимації їх розв'язків. Багато актуальних проблем дослідження операцій, оптимального керування та математичної фізики можуть бути записані у формі варіаційних нерівностей. Негладкі задачі оптимізації можна ефективно розв'язувати, якщо їх переформулювати як сідлові задачі, а до останніх застосувати сучасні наближені алгоритми розв'язання варіаційних нерівностей. З появою генеруючих змагальних нейронних мереж стійкий інтерес до застосування та дослідження ітераційних алгоритмів розв'язання варіаційних нерівностей виник і в середовищі фахівців в галузі машинного навчання. Проведено дослідження двох нових наближених алгоритмів із брегманівською проєкцією для розв'язання варіаційних нерівностей в гільбертовому просторі. Перший алгоритм, який названо алгоритмом операторної екстраполяції, отримано заміною в методі Маліцького - Тама евклідової метрики на дивергенцію Брегмана. Привабливою рисою алгоритму є всього одне обчислення на ітераційному кроці проєкції Брегмана на допустиму множину. Другий алгоритм є адаптивним варіантом першого, де використовується правило поновлення величини кроку, що не вимагає знання ліпшицевих констант та обчислень значень оператора в додаткових точках. Для варіаційних нерівностей із псевдомонотонними, ліпшицевими та секвенційно слабко неперервними операторами, що діють у гільбертовому просторі, доведено теореми про слабку збіжність методів.
 https://doi.org/10.1007/s10559-022-00507-5
 Scopus
Бібліографічний опис:
Семенов В. В., Денисов С. В., Сандраков Г. В., Харьков О. С. Збіжність методу операторної екстраполяції для варіаційних нерівностей в Банахових просторах. Кібернетика та системний аналіз. 2022. Т. 58, № 5. С. 79–93. doi: https://doi.org/10.1007/s10559-022-00507-5 URL: http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0001348612 |
 Cybernetics and Systems Analysis / Issue (2022, 58 (5))
Semenov V.V.,
Denisov S.V.,
Sandrakov G.V.,
Kharkov O.S.
Convergence of the operator extrapolation method for variational inequalities in Banach spaces New iterative algorithms for solving variational inequalities in uniformly convex Banach spaces are analyzed. The first algorithm is a modification of the forward-reflected-backward method, which uses the Alber generalized projection instead of the metric one. The second algorithm is an adaptive version of the first one, where the monotone step size update rule is used, which does not require knowledge of the Lipschitz constants and linear search procedure. For variational inequalities with monotone Lipschitz operators acting in a 2-uniformly convex and uniformly smooth Banach space, theorems on the weak convergence of the methods are proved. Also, for the first algorithm, an efficiency estimate in terms of the gap function is proved. © 2022, Springer Science+Business Media, LLC, part of Springer Nature. Keywords: 2-uniformly convex Banach space, Alber generalized projection, gap function, monotone operator, operator extrapolation method, uniformly smooth Banach space, variational inequality, weak convergence, Extrapolation, Iterative methods, Variational techniques, 2-uniformly convex banach space, Alber generalized projection, Extrapolation methods, Gap functions, Generalized projections, Monotone operators, Operator extrapolation method, Uniformly convex Banach space, Uniformly smooth banach space, Variational inequalities, Weak convergence, Banach spaces
Cite:
Semenov V.V.,
Denisov S.V.,
Sandrakov G.V.,
Kharkov O.S.
(2022). Convergence of the operator extrapolation method for variational inequalities in Banach spaces. Cybernetics and Systems Analysis, 58 (5), 79–93. doi: https://doi.org/10.1007/s10559-022-00507-5 http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0001348612 [In Ukrainian]. |
PDF